有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
1、有界数列的定义：
若数列{Xn}满足：对一切n有Xn≤M其中M是与n无关的常数称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界，对一切n有Xn≥m其中m是与n无关的常数称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界，一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。
2、有界数列的证明：
∵数列{Xn}是收敛的
∴设其极限为a
根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N
当n>N是不等式|Xn-a|N时，|Xn|=|(Xn-a)+a|
证毕。
3、有界数列示例：
（1）1，2，3，4
（2）{1/n}，n=1，2，3...
扩展资料：
1、有界数列的应用:
数列有极限的必要条件：
数列单调增且有上界或数列单调减且有下界=>数列有极限。
2、函数的有界性：
函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D满足m≤f(x)≤M,x∈D。则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
3、函数有界性的要点：
（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
收敛表示数列元素的和有界，当趋于无穷大时数列元素值趋于零。有界表示数列每个值都在某一范围内。
高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及 *** 较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的 *** 论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。
课程特点
通常认为，高等数学是由17世纪后微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。相对于初等数学和中等数学而言，学的数学较难，属于大学教程，因此常称“高等数学”，在课本常称“微积分”，理工科的不同专业。
文史科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：线性代数（数学专业学高等代数），概率论与数理统计（有些数学专业分开学）。
先讲二者的关系,数列收敛,则一定有界.但数列有界,不一定收敛.有界的概念是指,如果存在一个正数M,使得数列{an}中所有的项的绝对值|an|≤M,就称数列有界.无界就是说,对任何一个正数M,都存在某个{an}中的项a0,|a0|>M.无界的例子很多,最简单的就是an=n这个数列.因为你找不到任何一个正数M使得{an}中每一项都小于等于它,或者说对任何一个正数M,{an}中总有比M大的项.
要判断一个数列是否有界，需要观察数列的极限情况。如果数列的极限存在且有限，那么数列是有界的。具体判断 *** 是通过数列的定义或递推关系，找出数列的极限值。如果极限存在且有限，那么数列是有界的；如果极限不存在或为无穷大，那么数列是无界的。
另外，也可以通过观察数列的图像或数列的性质来判断是否有界。如果数列的图像在某个区间内有界，或者数列的绝对值有上界，那么数列是有界的。总之，判断数列是否有界需要考察数列的极限情况、图像和性质。
是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。
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