世界七大数学难题
克雷数学研究所2000年提出
这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。这七个问题都被悬赏一百万美元。
数学大师大卫·希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。
20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。
2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。
克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，97年菲尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的详述。
克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得一百万美元的大奖。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想，由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解)，还剩六个。
世界上最难的数学问题
1.NP完全问题
2.霍奇猜想
3.庞加莱猜想
4.黎曼假设
5.阳钢存在的质量差距
6.纳维尔-斯托克方程
7.BSD猜想
8.费马猜想
9.哥德巴赫猜想
1.NP完全问题
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有些计算问题是确定性的，如加法、减法、乘法和除法。只要你一步一步地推导公式，你就能得到结果。然而，有些问题不能一步一步地直接计算出来。例如，寻找大质数问题的答案不能直接计算，结果只能通过间接的“猜测”获得。
已经发现，所有完全多项式不确定性问题都可以转化为一种逻辑运算问题，称为满足问题。由于这些问题的所有可能答案都可以在多项式时间内计算出来，人们想知道对于这些问题是否有一种确定性算法可以在多项式时间内直接计算或搜索到正确答案。这是著名的NP=P吗？的猜想。
2.霍奇猜想
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霍奇猜想是代数几何中一个重要的突出问题。这是一个关于非奇异复代数簇的代数拓扑及其几何关系的猜想，几何关系由定义子簇的多项式方程表示。换句话说，它是“不管一座宫殿有多好或多复杂，它都可以用一堆积木来建造”。
用文人的话说，任何形状的几何图形，无论多么复杂，都可以用一堆简单的几何图形组合起来。在实际工作中，我们不能在二维平面纸上画复杂的多维图形。霍奇的猜想是把复杂的拓扑图形分成几个部分。只要我们按照规则安装，我们就能理解设计师的想法。
3.庞加莱猜想
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庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，即“任何单连通、封闭的三维流形必须与三维球面同胚。”简而言之，一个封闭的三维流形是一个有边界的三维空间。单一连通性意味着这个空间中的每条闭合曲线都可以连续收缩到一个点。
换句话说，在一个封闭的三维空间中，如果每条封闭曲线都可以收缩到一个点，那么这个空间一定是一个三维球体。庞加莱猜想是拓扑学中一个具有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研究三维空间，其结果将加深人们对流形性质的理解。
4.黎曼假设
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黎曼猜想(或称黎曼假设)是数学家波恩哈德黎曼在1859年提出的关于黎曼函数(s)的零分布的一个猜想。德国数学家戴维希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，包括黎曼假设，数学家们应该在20世纪努力解决这些问题。黎曼假设也包含在克雷数学研究所提供的七个世界数学问题中。
尽管黎曼猜想不如费马猜想和哥德巴赫猜想有名，但它在数学上比后两者重要得多。这是当今数学界最重要的数学问题。基于黎曼猜想(或其扩展形式)的建立，今天的数学文献中有1000多个数学命题。
2018年9月，迈克尔阿蒂亚的声明证明了黎曼的猜想，并于9月24日在海德堡奖获得者论坛上发表。9月24日，迈克尔阿蒂亚公布了他对黎曼假说的预印版本。
黎曼猜想和费马大定理已经成为整合广义相对论和量子力学的M理论的几何拓扑载体。
5.阳钢存在的质量差距
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《杨米尔斯的存在性和质量缺口》是世界七大数学问题之一。这个问题源于杨米尔斯的物理学理论。这个问题的形式表达式是为了证明，对于任何紧致的单规范群，四维欧几里德空间中的扬米尔斯方程都有一个预测质量间隙存在的解。这个问题的解决将阐明物理学家尚未完全理解的自然的基本方面。
6.纳维尔-斯托克方程
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纳维尔-斯托克斯方程，以克劳德-路易斯纳维尔和乔治加布里埃尔-斯托克斯的名字命名，是一组描述液体和空气等流体物质的方程，简称为N-S方程，是世界七大数学问题之一。它是以1821年由c.l-m-h.纳维德创建，1845年由g.g.斯托克斯改进后命名的。
7.BSD猜想
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BSD猜想，全称是伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，属于世界七大数学问题之一。它描述了Abel簇的算术和分析性质之间的关系。
给定一个全局区域上的阿贝尔群，假设其模态群的秩等于其L函数在1处的零阶，其L函数在1处的泰勒展开式的之一项系数与模态群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位置的周期和砂群有精确的等式关系。
前半部分通常被称为弱BSD猜想。BSD猜想是环划分域中类数公式的扩展。格罗斯提出了一个详细的BSD猜想。布洛克和加藤对主题提出了一个更一般的布洛赫-加藤猜想。
8.费马猜想
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费马大定理，也被称为“费马大定理”，是法国数学家皮耶德费玛在17世纪提出的。
他断言当整数n2时，方程xnyn=zn关于x，y，z没有正整数解。
德国人沃尔夫斯基尔曾宣布，他将在死后100年内给之一个证明该定理的人10万马克作为奖励，这吸引了许多人尝试并提交他们的“证明”。
费马大定理提出后，经历了许多人的猜想和辩证。经过300多年的历史，终于在1995年，英国数学家安德鲁怀尔斯宣布他已经证明了费马大定理。
费马大定理和黎曼猜想已经成为整合广义相对论和量子力学的M理论的几何拓扑载体。
9.哥德巴赫猜想
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哥德巴赫在1742年给欧拉的信中提出了以下猜想：任何大于2的整数都可以写成三个质数的和。但是哥德巴赫自己无法证明，所以他写信给著名的数学家欧拉，请他帮忙证明。但是欧拉直到去世才证明了这一点。由于今天的数学世界不再使用“1也是一个素数”的规定，原始猜想的现代表述是任何大于5的整数都可以写成三个素数的和。(n5:当n是偶数时，n=2(n-2)，n-2也是偶数，可以分解成两个素数之和；当n为奇数时，n=3(n-3)，n-3为偶数，可分解为两个素数之和。欧拉在他的回答中还提出了另一个等效版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个质数的和。今天最常见的猜测是欧拉版本。命题“任何足够大的偶数都可以表示为不超过a的一个素因子的个数和不超过b的另一个素因子的个数之和”被记录为“ab”。1966年，陈景润证明了“12”的成立，即“任何足够大的偶数都可以表示为两个素数之和，或一个素数和一个半素数之和”。
今天常见的猜测语句是欧拉版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和，也称为“强哥德巴赫猜想”或“偶数上的哥德巴赫猜想”。
根据哥德巴赫对偶数的猜想，可以推断出任何大于7的奇数都可以写成三个质数的和。后者被称为“弱哥德巴赫猜想”或“奇数哥德巴赫猜想”。如果关于偶数的哥德巴赫猜想是正确的，那么关于奇数的哥德巴赫猜想也是正确的。2013年5月，巴黎高等师范学校的研究员哈罗德霍洛维茨发表了两篇论文，宣布弱哥德巴赫猜想已经被完全证明。
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
难题”之二：霍奇猜想
难题”之三：庞加莱猜想
难题”之四：黎曼假设
难题”之五：杨－米尔斯存在性和质量缺口
难题”之六：纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性
难题”之七：贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
难题”之八：几何尺规作图问题
难题”之九：哥德巴赫猜想
难题”之十：四色猜想
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